Родился 4 декабря 1930 года в с. Ново-Чардым Лопатинского района Пензенской области, в крестьянской семье.

В 1938 году поступил в Ново-Чардымскую начальную школу, которую закончил в 1942 году и продолжил учебу в Камаевской семилетней школе.

С двенадцати лет Анатолий совмещал учебу с работой в колхозе, претворяя в жизнь лозунг «Все для фронта, все для победы!». Наравне со взрослыми он ухаживал за скотом, заготавливал корма, выполнял любую, порой самую тяжелую работу.

Родина высоко оценила вклад юноши в общее дело, наградив его медалью «За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941—1945 гг.».

В 1945 году Анатолий поступает учиться в Петровскую мужскую среднюю школу Саратовской области, по окончании которой в 1948 году становится студентом Саратовского юридического института.

Закончив институт в 1952 году, получает назначение на должность следователя прокуратуры Хвалынского района Саратовской области. В декабре 1954 года переводится на должность следователя Базарно-Карабулакского района, а в марте 1965 года назначается прокурором Татищевского района. Проработав в данной должности два «конституционных» срока (10 лет), в апреле 1975 года был назначен на должность прокурора Федоровского района.

Неоднократно поощрялся прокурорами РСФСР и Саратовской области.

В апреле 1980 года младший советник юстиции А.Е. Лёсин был освобожден от занимаемой должности и уволен из органов прокуратуры по состоянию здоровья.

В последующем работал в адвокатуре.

Вместе с супругой Марией Николаевной воспитал дочь Галину.